То же количество точек, если посчитать другим способом, равно сумме точек, содержащихся в цветных линиях вместе с точкой в левом нижнем углу, т.е. 1+3+5+7+9. Отсюда и получили равенство.
Как и в примере с кубиками, нарисуем сетку. На этот раз прямоугольник с одной стороной n, а другой – n+1.
Мы видим, что сумма 1+2+3+…+n равна количеству зеленых квадратиков. Площадь всего прямоугольника равна n⋅(n+1), но поскольку только половина его окрашена в зеленый, мы можем сразу сказать, что искомая сумма равна половине площади – (n(n+1))/2. А это и есть известная сумма натуральных чисел от 11-го до n.
Попробуем визуализировать эту всем знакомую формулу сокращенного умножения – x2−y2=(x−y)(x+y).
Переставив зеленый прямоугольник так, как показано на рисунке, мы сможем получить один целый прямоугольник, площадь которого запишется как x−y (одна сторона) умноженная на x+y (другую сторону).
Сейчас давайте отойдем от алгебраических записей к одному интересному геометрическому факту.
Как бы просто это не звучало, человеческая способность представлять и понимать сложные концепты в картинках невероятна по своей силе и глубине, поэтому этот спрятанный в рукаве козырь человеческого сознания как никогда может быть полезен в математике. Визуальные доказательства отлично дополняют формальные словесные (письменные) доказательства.
Пусть визуальные доказательства не всегда используют логический метод на основе заданных аксиом, но именно они так умело добавляют ясности для лучшего понимания “туманных” серий математических выводов. Кроме того, визуальные доказательства способствуют развитию математического мышления и естественного любопытства человека, показывая, что математический прогресс доказательства так же важен, как и сам результат.
Рассмотрев множество примеров визуальных доказательств, предлагаю вам самим попробовать доказать некоторые математические факты. Для этого вам необходимо внимательно, всматриваясь в рисунок, понять и вывести несколько доказательств.
1*1+2*2+⋯+n2=(n(n+1)(2n+1))/6
Больше подобных изображений вы можете найти тут и тут.
Фонд «Beyond Curriculum» публикует цикл материалов «В чем прелесть предмета» в партнерстве с проектом «Караван знаний» при поддержке компании «Шеврон». Караван знаний – инициатива по исследованию и обсуждению передовых образовательных практик с участием ведущих казахстанских и международных экспертов.
Редактор статьи: Дарина Мухамеджанова.